否定提升 Neg-Raising

否定提升现象

在各类语言中，否定提升指的是这种现象：在主句中的否定意味着到子句的否定（虽然逻辑上并非如此）。比如，直觉上来讲，(1)a意味着(1)b。

(1) a. Bill doesn’t think that Mary is here.
b. Bill thinks that Mary is not here.

形式语言学尝试对这种现象作出解释和分析。

Gajewski（2007）

句法分析

Gajewski概述了前人的解释道路。一种解释对否定提升（一下简称NR）提出了句法的分析，认为NG是句法上把否定前移。Gajewski质疑句法无法解释存在非NR谓词的现象。比如，即使和(1)具有相同句法的情况下，(2)a并不蕴含(2)b。

(2) a. Bill didn’t say that Mary is here.
b. Bill said that Mary isn’t here.

预设分析

Gajewski支持语义层面的分析。具体来说，支持Bartsch(1973)的预设（presupposition）理论。这一理论认为NR句存在着一个排中预设。

首先对 a believes that p 作出语义解释：在a的所有相容可能世界中，p全为真。即

$$\forall w(w \in B_a \rightarrow w \in p)$$

Bartsch认为NR存在着如下预设：

$$\forall w(w \in B_a \rightarrow w \in p) \lor \forall w(w \in B_a \rightarrow w \notin p)$$

排中预设使a要么认为p要么认为非p（即a对p有确定看法）考虑到预设能够在否定句中保留，所以a doesn't believe that p有如下结果

$$\neg \forall w(w \in B_a \rightarrow w \in p)$$

有预设

$$\forall w(w \in B_a \rightarrow w \in p) \lor \forall w(w \in B_a \rightarrow w \notin p)$$

因此，

$$\begin{gathered} \neg \forall w(w \in B_a \rightarrow w \in p) \\[6pt] \underline{ \forall w(w \in B_a \rightarrow w \in p) \lor \forall w(w \in B_a \rightarrow w \notin p) } \end{gathered}$$ $$\therefore\ \forall w(w \in B_a \rightarrow w \notin p)$$

这正是 a believe that $\neg p$ 。Gajewski认为，是否产生这种预设，是约定地根据谓词决定的。Horn(1989)给出了这个清单：

A list of Neg-Raising predicates, arranged by semantic field:

1. think, believe, suppose, imagine, expect, reckon, feel
2. seem, appear, look like, sound like, feel like
3. be probable, be likely, figure to
4. want, intend, choose, plan
5. be supposed to, ought, should, be desirable, advise, suggest

Romoli（2013）

Romoli（2013）提出了一种基于标量含义（scalar implicature）的否定提升理论，认为否定提升并非句子的字面意义，也不是预设，而是通过语用推理产生的。

标量与替代项

在日常交流中，我们说出一个句子时，听者不仅会考虑这个句子本身的意义，还会考虑：说话者为什么选择这种表达，而没有选择其他表达？ 这些本来可以使用的其他表达，就叫作替代项（alternatives）。 例如： （1）有些学生通过了考试。 （2）所有学生都通过了考试。 在这里，“有些”和“所有”可以相互替换，因此两个句子构成一组替代项$\{有些，所有\}$。但是，它们在逻辑上并不是平等的。 “所有学生都通过了考试”必然意味着“有些学生通过了考试”（假定确实有学生），但“有些学生通过了考试”并不意味着“所有学生都通过了考试”。 因此，我们说（2）比（1）更强。这种替代项之间的强弱关系就构成了一个标量（scale）：

$$\text{有些}<\text{所有}$$

这里的强弱并不是语气的强弱，而是逻辑上的信息强弱：越强的表达，对实际情况的限制就越多。

Romoli的方案

Romoli 的核心思路是：

1. 引入更强的替代表达。 说话者除了可以说“我不认为他会来”，还可以表达一个更强的判断：“我既不认为他会来，也不认为他不会来”，或者说，考虑主体是否已经在两种可能之间作出了判断。
2. 利用语用推理排除替代情况。 听者通过类似标量含义的机制，推断说话者并非处于完全没有确定看法的状态。
3. 得到否定提升。 既然说话者不是没有确定看法，又不认为他会来，那么就可以推断说话者认为他不会来。 更准确地说，Romoli 在形式分析中引入了一个排中替代项（excluded middle alternative）：

$$\operatorname{think}(p)\lor\operatorname{think}(\neg p)$$

通过对替代项进行语用强化，最终得到否定提升推论。 这一方案的贡献在于把否定提升纳入一般的标量含义理论，而不必把它看成特殊的预设现象。 主要问题是：与之前的替代项相比，这样一个替代项是十分“丑陋”的。为什么 think 恰好具有这样的排中替代项？这一设定缺乏独立解释，显得有些特设。后来 Jeretič（2022）正是针对这一问题，提出了不依赖标量替代项的含义分析。

Jeretič（2022）

一、两种替代项与替代项投射

Jeretič（2022）在论文 Neg-raising with belief predicates as a scaleless implicature 中提出，否定提升（Neg-raising，NR）可以被解释为一种无标量含义（scaleless implicature）。

其核心观点是：我们不必像 Romoli（2013）那样，专门假设 think 具有一个排中替代项。只需要假设 think 具有子论域替代项（subdomain alternatives），再应用一般性的穷尽化算子 EXH，就能够推导出否定提升。

整个理论的目标是证明：

$$\boxed{ \operatorname{EXH}[\operatorname{NEG}[x\ \mathrm{think}\ p]] \equiv x\ \mathrm{think}\ \neg p }$$

也就是说，NR的原因就是有着隐含的EXH算子。

1. 标量替代项（Scalar alternatives）

Jeretič 首先区分了两类替代项，其中第一类是标量替代项。

标量替代项是指具有逻辑强弱关系的词汇表达。例如：

$$\operatorname{ScalarAlt}(\mathrm{some}) = \{\mathrm{some},\mathrm{most},\mathrm{all}\}$$

以及：

$$\operatorname{ScalarAlt}(\mathrm{or}) = \{\mathrm{or},\mathrm{and}\}$$

以 some 和 all 为例：

• Some students passed.：有些学生通过了。
• All students passed.：所有学生都通过了。

第二句话比第一句话更强，因为在论域非空的情况下，后者蕴含前者，反之不成立。

Jeretič 认为，标量替代项必须对应语言中实际存在的词汇表达。 Romoli那里类似于析取式的替代项是不合理的。

例如，think 在语义上可以表示对信念世界的全称量化：

$$\llbracket \mathrm{think}\rrbracket = \lambda p.\lambda x. \forall w\in\operatorname{DOX}(x)\,p(w)$$

其中，$\operatorname{DOX}(x)$ 是与主体 $x$ 的信念相容的可能世界集合。

从数学上说，全称量词当然存在对应的存在量词：

$$\exists w\in\operatorname{DOX}(x)\,p(w)$$

但是，英语中没有一个通常意义下的信念动词，恰好以这个存在量化式为其词汇意义。

因此，Jeretič 假设，think 不具有这样的较弱标量替代项，是无标量的（scaleless）

2. 子论域替代项（Subdomain alternatives）

作为补偿，我们引入第二种替代项是子论域替代项。

假设量词 $Q$ 的量化论域是 $D$，我们可以将 $D$ 替换成它的任意非空子集：

$$\varnothing\neq D'\subseteq D$$

由此产生的表达就是子论域替代项。

例如：

Alice, Bob or Charlie will come.

设三个命题分别为 $A,B,C$，原句表示：

$$A\lor B\lor C$$

我们可以缩小析取的论域，得到：

$$\begin{aligned} \operatorname{SubdomainAlt}(A\lor B\lor C) =\{& A\lor B\lor C,\\ &A\lor B,\ A\lor C,\ B\lor C,\\ &A,\ B,\ C \} \end{aligned}$$

对于 think，我们也可以采用这种机制。

假设某人的信念世界只有三个：

$$\operatorname{DOX}(x)=\{w_1,w_2,w_3\}$$

原来的 think p 表示：

$$p(w_1)\land p(w_2)\land p(w_3)$$

其子论域替代项包括：

$$\begin{aligned} &p(w_1)\land p(w_2),\\ &p(w_1)\land p(w_3),\\ &p(w_2)\land p(w_3),\\ &p(w_1),\ p(w_2),\ p(w_3) \end{aligned}$$

以及原表达本身。

也就是说，我们把信念世界集合替换成它的各个非空子集。

原文还规定，量词是否产生子论域替代项，是词汇层面指定的；而它是否具有标量替代项，则取决于语言中是否存在相应的词汇。

3. 替代项投射（Alternative projection）

词汇本身具有替代项还不够，因为 EXH 最终处理的是一个句子。

因此，我们需要说明词汇的替代项如何形成句子的替代项。

Jeretič 给出了以下规则：

$$\operatorname{Alt}([E\ldots Q\ldots]) = \{[E\ldots Q_i\ldots]\mid Q_i\in\operatorname{Alt}(Q)\}$$

这里：

• $E$ 表示一个包含量词 $Q$ 的表达。
• $Q_i$ 是 $Q$ 的某个替代项。
• 将 $E$ 中的 $Q$ 换成 $Q_i$，就得到整个表达的一个替代项。

这就是替代项投射（alternative projection）。

例如，考虑：

$$S=\neg\forall w\in\{w_1,w_2\}\,p(w)$$

它表示：

并非所有信念世界都满足 $p$。

现在，内部的全称量词具有以下子论域：

$$\{w_1,w_2\},\quad \{w_1\},\quad \{w_2\}$$

把这些子论域分别代入原句，同时保留外面的否定符号，就得到：

$$\boxed{ \operatorname{Alt}(S) = \left\{ \begin{array}{l} \neg\forall w\in\{w_1,w_2\}\,p(w),\\ \neg\forall w\in\{w_1\}\,p(w),\\ \neg\forall w\in\{w_2\}\,p(w) \end{array} \right\} }$$

否定不会阻止替代项投射。 即使量词处于否定的辖域之内，它产生的子论域替代项仍然能够投射到整个否定句。 这些替代项将成为 EXH 的输入。

二、EXH 算子

Jeretič 采用 Bar-Lev 与 Fox（2020）的穷尽化理论。

EXH 是一个用于计算含义的算子。它接受两个主要输入：

• 一个命题 $p$，称为基础命题（prejacent）。
• 一个替代项集合 $C$。

然后根据替代项与基础命题的逻辑关系，对原句进行强化。

不同于某些只排除替代项的穷尽化理论，这里的 EXH 既能够排除替代项，又能够纳入替代项。

它涉及两个集合：

$$IE(p,C)$$

和

$$II(p,C)$$

分别代表：

• 可无辜排除的替代项（Innocently Excludable）。
• 可无辜纳入的替代项（Innocently Includable）。

1. EXH 的语义定义

定义：

$$\begin{aligned} \llbracket EXH\rrbracket(C)(p)(w) \equiv{}& p(w) &\land\bigwedge_{q\in IE(p,C)}\neg q(w) &\land\bigwedge_{r\in II(p,C)}r(w) \end{aligned}$$

这个公式包含三个部分。

第一部分：保留基础命题。

$$p(w)$$

无论如何强化，原句必须成立。

第二部分：否定所有可无辜排除的替代项。

$$\bigwedge_{q\in IE(p,C)}\neg q(w)$$

例如，从“有些学生通过了考试”推导出“并非所有学生都通过了考试”，就是通过排除一个更强的替代项来实现的。

第三部分：肯定所有可无辜纳入的替代项。

$$\bigwedge_{r\in II(p,C)}r(w)$$

这一部分对 Jeretič 的否定提升理论至关重要。

因为她的推导不是通过排除子论域替代项得到否定提升，而是通过纳入所有子论域替代项实现的。

2. 可无辜排除（IE）？

我们不能任意否定替代项。

例如，假设：

$$S=A\lor B$$

其替代项包括：

$$C=\{A\lor B,A,B,A\land B\}$$

我们希望尽可能多地否定替代项，但不能与原句矛盾。

显然，不可能同时否定 $A$ 和 $B$，因为：

$$(A\lor B)\land\neg A\land\neg B \equiv\bot$$

但我们可以选择排除 $A$ 和 $A\land B$，或者排除 $B$ 和 $A\land B$。

对应的两种极大排除方案为：

$$C'_1=\{A,A\land B\}$$ $$C'_2=\{B,A\land B\}$$

这两种排除方案都是极大的，即在保持一致性的条件下，不能再增加其他被排除的替代项。

但是，我们没有理由偏袒其中一种。所以只有所有极大排除方案共同排除的替代项，才属于 IE。这个意义上讲，“无辜”指不需要在同样合理的可能方案之间作出任意选择。

在这个例子中：

$$IE(S,C)=C'_1\cap C'_2=\{A\land B\}$$

形式定义

$$\begin{aligned} IE(p,C)=\bigcap\{C'\subseteq C:\;&C'\text{ 是极大的，且} &\{p\}\cup\{\neg q:q\in C'\} \text{ 一致}\} \end{aligned}$$

可无辜纳入（II）

在确定需要排除哪些替代项之后，可无辜纳入考虑还有哪些替代项可以被肯定，而且不会产生矛盾？

II 定义为：

所有与基础命题及 IE 排除结果一致的极大纳入方案的交集。

$$\begin{aligned} II(p,C)=\bigcap\{C''\subseteq C:\;&C''\text{ 是极大的，且} &\{p\} \cup\{\neg q:q\in IE(p,C)\} &\quad\cup\{r:r\in C''\} \text{ 一致}\} \end{aligned}$$

否定提升的证明

1. 定义 think 的语义

首先，Jeretič 采用信念谓词的标准可能世界语义：

$$\boxed{ \llbracket\mathrm{think}\rrbracket = \lambda p.\lambda x. \forall w\in\operatorname{DOX}(x)\,p(w) }$$

其中：

• $x$ 是信念主体。
• $p$ 是一个命题，即从可能世界到真值的函数。
• $\operatorname{DOX}(x)$ 是与主体 $x$ 的信念相容的可能世界集合。

于是：

$$x\ \mathrm{think}\ p \equiv \forall w\in\operatorname{DOX}(x)\,p(w)$$

而：

$$\operatorname{NEG}[x\ \mathrm{think}\ p] \equiv \neg\forall w\in\operatorname{DOX}(x)\,p(w)$$

根据量词否定律：

$$\neg\forall w\in\operatorname{DOX}(x)\,p(w) \equiv \exists w\in\operatorname{DOX}(x)\,\neg p(w)$$

这就是普通的非否定提升解读。

它仅仅说明：主体的信念世界中，至少有一个世界不满足 $p$。

但否定提升要求：

$$\forall w\in\operatorname{DOX}(x)\,\neg p(w)$$

即主体的所有信念世界都不满足 $p$。

因此，我们要证明：

$$\operatorname{EXH} \left( \neg\forall w\in\operatorname{DOX}(x)\,p(w) \right) \equiv \forall w\in\operatorname{DOX}(x)\,\neg p(w)$$

2. 构造子论域替代项

考虑只有两个信念世界的简单模型：

$$\operatorname{DOX}(x)=\{w_1,w_2\}$$

为了简化记号，我们定义：

$$B_Dp:=\forall w\in D\,p(w)$$

因此，基础命题为：

$$S=\neg B_{\{w_1,w_2\}}p$$

其子论域替代项是：

$$C=\operatorname{Alt}(S) = \{ \neg B_{\{w_1,w_2\}}p, \neg B_{\{w_1\}}p, \neg B_{\{w_2\}}p \}$$

为了方便理解，令：

$$a=p(w_1),\qquad b=p(w_2)$$

那么：

$$S=\neg(a\land b)$$

而：

$$C=\{\neg(a\land b),\neg a,\neg b\}$$

3. 计算 IE

根据前面给出的定义，我们先计算哪些替代项可以被无辜排除。

考虑：

$$C=\{\neg(a\land b),\neg a,\neg b\}$$

首先，原句本身不可能被排除，因为这会导致：

$$\neg(a\land b)\land\neg\neg(a\land b) \equiv\bot$$

剩下两个替代项为：

$$\neg a,\qquad\neg b$$

如果排除 $\neg a$，就需要断言 $a$。

这与原句一致：

$$\neg(a\land b)\land a \equiv a\land\neg b$$

同样，如果排除 $\neg b$，就需要断言 $b$：

$$\neg(a\land b)\land b \equiv \neg a\land b$$

但不能同时排除这两个替代项，因为：

$$\neg(a\land b)\land a\land b \equiv\bot$$

因此，存在两种极大排除方案：

$$C'_1=\{\neg a\}$$ $$C'_2=\{\neg b\}$$

两者的交集为空：

$$C'_1\cap C'_2=\varnothing$$

所以：

$$IE(S,C)=\varnothing$$

直观上，我们知道至少一个信念世界不满足 $p$，但没有理由任意选择哪个世界满足 $p$，从而排除相应的替代项。因此没有任何替代项可以被无辜排除。

4. 计算 II

既然：

$$IE(S,C)=\varnothing$$

我们接下来考虑，哪些替代项可以被无辜纳入。

原句为：

$$\neg(a\land b)$$

全部替代项为：

$$\{\neg(a\land b),\neg a,\neg b\}$$

如果把它们全部纳入，得到：

$$\neg(a\land b)\land\neg a\land\neg b$$

这个命题显然是一致的。

例如，当：

$$a=\mathrm{False},\qquad b=\mathrm{False}$$

时，整个合取式为真。

而且，全部替代项本身就构成一个极大一致纳入集合，因此不存在其他不同的极大纳入集合。

于是：

$$II(S,C)=C$$

即：

$$II(S,C)= \{ \neg B_{\{w_1,w_2\}}p, \neg B_{\{w_1\}}p, \neg B_{\{w_2\}}p \}$$

5. 应用 EXH

回顾 EXH 的定义：

$$\begin{aligned} \operatorname{EXH}(S) ={}&S &\land\bigwedge_{q\in IE(S,C)}\neg q &\land\bigwedge_{r\in II(S,C)}r \end{aligned}$$

代入：

$$IE(S,C)=\varnothing$$

以及：

$$II(S,C)=C$$

得到：

$$\begin{aligned} \operatorname{EXH}(S) ={}& \neg B_{\{w_1,w_2\}}p &\land\neg B_{\{w_1\}}p &\land\neg B_{\{w_2\}}p \end{aligned}$$

展开：

$$\begin{aligned} \operatorname{EXH}(S) ={}& \neg[p(w_1)\land p(w_2)] &\land\neg p(w_1) &\land\neg p(w_2) \end{aligned}$$

由于后两个合取项已经蕴含第一个合取项，故：

$$\operatorname{EXH}(S) \equiv \neg p(w_1)\land\neg p(w_2)$$

这又等价于：

$$\forall w\in\{w_1,w_2\}\,\neg p(w)$$

根据 think 的语义：

$$\forall w\in\operatorname{DOX}(x)\,\neg p(w) \equiv x\ \mathrm{think}\ \neg p$$

最终得到：

$$\operatorname{EXH}[\operatorname{NEG}[x\ \mathrm{think}\ p]] \equiv x\ \mathrm{think}\ \neg p$$

证毕。

整个过程没有引入任何排中预设，也没有使用 Romoli 所假设的排中标量替代项。

6. 推广到任意信念世界集合

原论文为了方便展示，采用了两个世界的例子，但理论并不限于两个世界。

设：

$$D=\operatorname{DOX}(x)$$

并假设：

$$D\neq\varnothing$$

原句为：

$$S=\neg\forall w\in D\,p(w)$$

其子论域替代项为：

$$\boxed{ C= \left\{ \neg\forall w\in D'\,p(w): \varnothing\neq D'\subseteq D \right\} }$$

依照前面的 IE、II 计算，所有子论域替代项都被纳入。

于是：

$$\operatorname{EXH}(S) \equiv \bigwedge_{\varnothing\neq D'\subseteq D} \neg\forall w\in D'\,p(w)$$

现在证明：

$$\boxed{ \bigwedge_{\varnothing\neq D'\subseteq D} \neg\forall w\in D'\,p(w) \iff \forall w\in D\,\neg p(w) }$$

证明：

$(\Rightarrow)$ 假设：

$$\bigwedge_{\varnothing\neq D'\subseteq D} \neg\forall w\in D'\,p(w)$$

任取 $w_0\in D$。

考虑单元素子集：

$$D'=\{w_0\}$$

它是 $D$ 的一个非空子集，因此有：

$$\neg\forall w\in\{w_0\}\,p(w)$$

即：

$$\neg p(w_0)$$

由于 $w_0$ 是任意选取的：

$$\forall w\in D\,\neg p(w)$$

$(\Leftarrow)$ 假设：

$$\forall w\in D\,\neg p(w)$$

那么对于任意非空子集 $D'\subseteq D$，都有：

$$\forall w\in D'\,\neg p(w)$$

因此：

$$\neg\forall w\in D'\,p(w)$$

对所有非空子集均成立，故：

$$\bigwedge_{\varnothing\neq D'\subseteq D} \neg\forall w\in D'\,p(w)$$

综上：

$$\boxed{ \bigwedge_{\varnothing\neq D'\subseteq D} \neg\forall w\in D'\,p(w) \iff \forall w\in D\,\neg p(w) }$$

证毕。

对于无限论域，仍须保证相应替代项集合以及穷尽化运算得到适当定义。

四、量化主体下的否定提升

前面的证明都假设信念主体 $x$ 是一个固定的个体，例如 John。

但是，在自然语言中，信念动词的主语也可能是量化表达，例如 everyone、someone 或 no one。

Jeretič（2022）在第 2.3 节末尾及第 2.4.1 节讨论了这一问题，并提出通过选择函数推广子论域替代项的定义。

1. 问题：主体是变量时，信念世界集合也随之变化

考虑：

No one thinks it's raining.
没有人认为正在下雨。

这个句子可以产生以下否定提升解读：

Everyone thinks it's not raining.
每个人都认为没有下雨。

注意，这里发生的不只是单一主体的否定提升，而是整个量化结构的强化。

设 $D_e$ 为个体论域，$r$ 表示正在下雨这一命题。

原句的字面意义为：

$$\boxed{ S=\neg\exists x\in D_e\, \forall w\in\operatorname{DOX}(x)\,r(w) }$$

即：

不存在一个人，其所有信念世界都满足正在下雨。

根据量词否定律，这等价于：

$$\forall x\in D_e\, \exists w\in\operatorname{DOX}(x)\,\neg r(w)$$

也就是说，每个人都至少有一个信念世界不满足正在下雨。

但是，否定提升解读要求：

$$\forall x\in D_e\, \forall w\in\operatorname{DOX}(x)\,\neg r(w)$$

即每个人的所有信念世界都不满足正在下雨。

我们需要证明：

$$\operatorname{EXH} \left[ \neg\exists x\in D_e\, \forall w\in\operatorname{DOX}(x)\,r(w) \right] \equiv \forall x\in D_e\, \forall w\in\operatorname{DOX}(x)\,\neg r(w)$$

这里出现一个新问题：

不同主体具有不同的信念世界集合，因而不能再简单地用一个固定子集替换所有主体的量化论域。

例如：

$$\operatorname{DOX}(x_1)=\{w_1,w_2\}$$ $$\operatorname{DOX}(x_2)=\{w_3,w_4\}$$

我们需要一种方法，使替代项能够同时为 $x_1$ 和 $x_2$ 选择各自的信念子论域。

2. 选择函数与一般化的子论域替代项

设个体论域为 $D_e$，每个主体 $x$ 的信念世界集合为 $\operatorname{DOX}(x)$。

定义一个函数 $g$，满足：

$$\boxed{ g(x)\in \mathcal P(\operatorname{DOX}(x)) \setminus\{\varnothing\} }$$

对所有 $x\in D_e$ 成立。

其中，$\mathcal P(D)$ 表示集合 $D$ 的幂集。

因此，$g$ 为每个主体选择一个非空的信念世界子集。

例如：

$$\begin{aligned} g_1(x_1)&=\{w_1\}\\ g_1(x_2)&=\{w_3,w_4\} \end{aligned}$$

以及：

$$\begin{aligned} g_2(x_1)&=\{w_1\}\\ g_2(x_2)&=\{w_3\} \end{aligned}$$

都是合法的选择函数。

这里的 $g$ 是对原论文公式（23）中选择函数机制的简化记法：原文让选择函数从每个主体信念集合的非空幂集里选取一个成员，这里直接把选择结果记为 $g(x)$。

据此，think 的替代项可以定义为：

$$\operatorname{Alt}(\mathrm{think}) = \left\{ \lambda p.\lambda x. \forall w\in g(x)\,p(w) : \forall x\in D_e,\ \varnothing\neq g(x)\subseteq\operatorname{DOX}(x) \right\}$$

对于原句：

$$S=\neg\exists x\in D_e\, \forall w\in\operatorname{DOX}(x)\,r(w)$$

应用替代项投射，得到：

$$\boxed{ \operatorname{Alt}(S) = \left\{ \neg\exists x\in D_e\, \forall w\in g(x)\,r(w) : \forall x\in D_e,\ \varnothing\neq g(x)\subseteq\operatorname{DOX}(x) \right\} }$$

3. 构造两主体模型

按照原论文公式（27）—（28），考虑一个只有两个主体的模型：

$$D_e=\{x_1,x_2\}$$

并设：

$$\operatorname{DOX}(x_1)=\{w_1,w_2\}$$ $$\operatorname{DOX}(x_2)=\{w_3,w_4\}$$

令：

$$r_i:=r(w_i)$$

于是原句可以简化为：

$$\boxed{ S=\neg[(r_1\land r_2)\lor(r_3\land r_4)] }$$

它表示：

$x_1$ 并非在所有信念世界中都认为下雨，而且 $x_2$ 也并非在所有信念世界中都认为下雨。

现在考虑选择函数 $g_1$：

$$g_1(x_1)=\{w_1\}$$ $$g_1(x_2)=\{w_3,w_4\}$$

其对应的替代项为：

$$\neg[r_1\lor(r_3\land r_4)]$$

再考虑：

$$g_2(x_1)=\{w_1\}$$ $$g_2(x_2)=\{w_3\}$$

对应的替代项为：

$$\neg(r_1\lor r_3)$$

由于每个主体都有三个非空信念子论域：

$$\{w_1\},\quad \{w_2\},\quad\{w_1,w_2\}$$

以及：

$$\{w_3\},\quad \{w_4\},\quad\{w_3,w_4\}$$

两个主体合计产生：

$$3\times3=9$$

个子论域替代项。

其中尤其重要的是四个单元素选择函数对应的替代项：

$$\begin{aligned} q_{13}&=\neg(r_1\lor r_3)\\ q_{14}&=\neg(r_1\lor r_4)\\ q_{23}&=\neg(r_2\lor r_3)\\ q_{24}&=\neg(r_2\lor r_4) \end{aligned}$$

这四个替代项分别对应为两个主体各选择一个信念世界。

接下来证明 EXH 如何利用它们得到否定提升。

4. 计算 IE 与 II

引理 3

对于上述原句 $S$ 及其子论域替代项集合，有：

$$IE(S,\operatorname{Alt}(S))=\varnothing$$

以及：

$$II(S,\operatorname{Alt}(S))=\operatorname{Alt}(S)$$

证明：

首先考虑 IE。

四个单元素替代项是整个替代项集合中最强的替代项。

如果我们尝试同时排除它们，就必须肯定：

$$\begin{aligned} &\neg q_{13}\land\neg q_{14} &\qquad\land\neg q_{23}\land\neg q_{24} \end{aligned}$$

即：

$$\begin{aligned} &(r_1\lor r_3)\land(r_1\lor r_4) &\qquad\land(r_2\lor r_3)\land(r_2\lor r_4) \end{aligned}$$

利用命题逻辑中的分配律，可得：

$$(r_1\land r_2)\lor(r_3\land r_4)$$

但是，这恰好是原句的否定：

$$S=\neg[(r_1\land r_2)\lor(r_3\land r_4)]$$

因此，同时排除全部单元素替代项会导致矛盾。

另一方面，只排除其中一部分又需要在彼此对称的选择之间作出任意取舍。

按照 IE 的定义，这些替代项不能被无辜排除。

其他子论域替代项都弱于相应的单元素替代项，因此同样不能被无辜排除。

所以：

$$IE(S,\operatorname{Alt}(S))=\varnothing$$

接下来考虑 II。

由于 IE 为空，所有替代项都可以尝试纳入。

令：

$$r_1=r_2=r_3=r_4=\mathrm{False}$$

此时，原句为真，而且所有子论域替代项也都为真。

因此，所有替代项可以同时被纳入而不产生矛盾。

于是：

$$II(S,\operatorname{Alt}(S)) = \operatorname{Alt}(S)$$

证毕。

这里的关键与单一主体的情况完全一致：

没有替代项能够被无辜排除，而所有替代项都能够被无辜纳入。

5. 应用 EXH

命题 3（量化主体下的否定提升）

在上述模型及替代项假设下：

$$\begin{aligned} &\operatorname{EXH} \left[ \neg\exists x\in D_e\, \forall w\in\operatorname{DOX}(x)\,r(w) \right]\\ &\qquad\equiv \forall x\in D_e\, \forall w\in\operatorname{DOX}(x)\,\neg r(w) \end{aligned}$$

证明：

根据引理 3：

$$IE=\varnothing$$ $$II=\operatorname{Alt}(S)$$

因此，EXH 纳入所有子论域替代项。

尤其需要纳入四个单元素替代项：

$$\begin{aligned} \operatorname{EXH}(S) \equiv{}& q_{13}\land q_{14} &\land q_{23}\land q_{24} \end{aligned}$$

这里省略了其他替代项，因为它们已经被这四个最强的替代项蕴含。

代入：

$$\begin{aligned} \operatorname{EXH}(S) \equiv{}& \neg(r_1\lor r_3) &\land\neg(r_1\lor r_4) &\land\neg(r_2\lor r_3) &\land\neg(r_2\lor r_4) \end{aligned}$$

根据德摩根律：

$$\begin{aligned} \operatorname{EXH}(S) \equiv{}& (\neg r_1\land\neg r_3) &\land(\neg r_1\land\neg r_4) &\land(\neg r_2\land\neg r_3) &\land(\neg r_2\land\neg r_4) \end{aligned}$$

化简得到：

$$\operatorname{EXH}(S) \equiv \neg r_1\land\neg r_2\land\neg r_3\land\neg r_4$$

这意味着：

$$\forall w\in\operatorname{DOX}(x_1)\,\neg r(w)$$

并且：

$$\forall w\in\operatorname{DOX}(x_2)\,\neg r(w)$$

因此：

$$\operatorname{EXH}(S) \equiv \forall x\in D_e\, \forall w\in\operatorname{DOX}(x)\,\neg r(w)$$

证毕。

6. 一般化与理论意义

上述证明使用了两个主体、每个主体两个信念世界的有限模型。

但是，关键机制并不依赖于这个特殊模型。

对于任意非空个体论域 $D_e$，假设每个主体的信念世界集合也非空，并允许选择函数为每个主体选择任意非空信念子论域。

那么所有单元素选择函数对应的替代项具有如下形式：

$$\neg\exists x\in D_e\,r(g(x))$$

其中：

$$g(x)\in\operatorname{DOX}(x)$$

这里将 $g$ 限制为每个主体选择一个世界的函数。

如果所有此类替代项都被纳入，就得到：

$$\forall g\, \neg\exists x\in D_e\,r(g(x))$$

这等价于：

$$\forall g\, \forall x\in D_e\,\neg r(g(x))$$

由于选择函数能够为任意主体选取其任意一个信念世界，因此：

$$\forall g\,\forall x\in D_e\,\neg r(g(x)) \iff \forall x\in D_e\, \forall w\in\operatorname{DOX}(x)\,\neg r(w)$$

于是，在所有相关替代项都被纳入的条件下，量化主体也可以产生否定提升。

五

关于EXH算子应用的条件，文章给出了其他说明。我选择详细介绍Jeretič的理论，因为EXH算子同样也用来解释自由选择、标量含意等一系列其他语言现象，比之前人更加统一，没有引入新的符号或定义，并且在复杂情况下表现良好。不过，这一理论当然也不是很完美，比如对于doubt等其他词的解释失效等等。不过收到笔者个人阅读量的限制，也只能介绍到这里了。

参考文献：

Bar-Lev, Moshe E., & Fox, Danny. (2020). Free choice, simplification, and Innocent Inclusion. Natural Language Semantics, 28(3), 175–223. DOI: 10.1007/s11050-020-09162-y.

Bartsch, Renate. (1973). “Negative Transportation” gibt es nicht. Linguistische Berichte, 27, 1–7. 书目记录（INIST–CNRS）.

Gajewski, Jon Robert. (2007). Neg-Raising and Polarity. Linguistics and Philosophy, 30(3), 289–328. DOI: 10.1007/s10988-007-9020-z.

Horn, Laurence R. (1989). A natural history of negation. Chicago: University of Chicago Press. 1989 年版书目记录.

Jeretič, Paloma. (2022). Neg-raising with belief predicates as a scaleless implicature. In John R. Starr, Juhyae Kim, & Burak Öney (Eds.), Proceedings of Semantics and Linguistic Theory 32 (SALT 32) (pp. 891–914). Linguistic Society of America. DOI: 10.3765/salt.v1i0.5367.

Matticchio, Andrea. (2024). Neg-raising interacts with implicatures: The case of doubt. In Fausto Carcassi, Tamar Johnson, Søren Brinck Knudstorp, Sabina Domínguez Parrado, Pablo Rivas Robledo, & Giorgio Sbardolini (Eds.), Proceedings of the 24th Amsterdam Colloquium (pp. 248–255). Amsterdam: Institute for Logic, Language and Computation, University of Amsterdam. 论文页面.

Romoli, Jacopo. (2013). A scalar implicature-based approach to neg-raising. Linguistics and Philosophy, 36(4), 291–353. DOI: 10.1007/s10988-013-9136-2.